Una
variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al
resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, los posibles resultados de
tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc. o un número real (p.e., la
temperatura máxima medida a lo largo del día en una ciudad concreta).
Los
valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles
resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una
cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de
medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede
tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes
valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad
de que se den los diferentes valores. En términos formales una variable
aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad.
Las
variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar
valores aleatorios como valores lógicos, funciones o cualquier tipo de
elementos (de un espacio medible). El término elemento aleatorio se utiliza
para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado
es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas
(habitualmente por orden o tiempo).
Definiciones
Concepto intuitivo
Una variable aleatoria puede
concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una
variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta
al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de
probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una
epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no
(suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se
puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.
Para trabajar de manera
sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran
número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar
los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los
resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación
funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y
números reales.
Definición formal
Una variable aleatoria
(v.a.) X es una función real definida
en el espacio de probabilidad (Ω, A, P), asociado a un experimento
aleatorio.
X : Ω → R
La
definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes
de la teoría de la medida, concretamente la noción σ-álgebra o la de medida de
probabilidad. Dado un espacio de probabilidad ( Ω , A , P ) y un espacio medible
( S , Σ ), una aplicación X : Ω ⟶ S
es una variable aleatoria si es una aplicación A , Σ-medible. En el uso
ordinario, los puntos de ω ∈ Ω no son directamente
observables, sólo el valor de la variable en el punto X ( ω ) por lo que el
elemento probabilístico reside en el desconocimiento que se tiene del punto
concreto ω.
Ejemplo:
Supongamos
que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de
resultados elementales posibles asociado al experimento, es:
Ω = { cc,cx,xc,xx }
donde
(c representa "sale cara" y x, "sale cruz"). Podemos
asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras
obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función
X : Ω → R
dada
por
cc → 2
cx , xc → 1
xx → 0
El
recorrido o rango de esta función, RX,
es el conjunto
Rx =
{0, 1, 2}
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